Ejercicio · ZW-IMAGEN-CONTINUA-DE-COMPACTO-004 · ★☆☆ Básico
La función continua \(f(x)=1/x\) sobre \((0,1]\) tiene imagen \([1,\infty)\), que no es compacta. ¿Por qué no contradice el teorema?
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- D. Porque \((0,1]\) no es compacto
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Explicación
El teorema exige que el dominio sea compacto, y \((0,1]\) no lo es (no es cerrado). Sin esa hipótesis la imagen puede no ser compacta.
Si \(f:X\to Y\) es continua y el espacio \(X\) es compacto, entonces la imagen \(f(X)\) es un subespacio compacto de \(Y\).
\[f(X)\ \text{compacto}\]
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