Ejercicio · ZW-IMAGEN-CONTINUA-DE-COMPACTO-009 · ★★★ Avanzado
Sea \(X\) compacto y \(f:X\to\mathbb{R}\) continua con \(f(x)>0\) para todo \(x\). ¿Existe \(c>0\) con \(f(x)\ge c\) en todo \(X\)?
Elige una opción.
A Sí: \(f\) alcanza su mínimo y este es positivo B No: \(f\) puede acercarse a \(0\) sin llegar C Solo si \(X\) es finito D Solo si \(f\) es inyectiva Ver respuesta A. Sí: \(f\) alcanza su mínimo y este es positivo← Volver a la pregunta
Explicación \(f(X)\) es compacto en \(\mathbb{R}\), luego tiene mínimo \(c=f(x_0)\) con \(x_0\in X\), y \(c>0\) por la hipótesis. Sin compacidad falla: \(x\) en \((0,1]\) se acerca a \(0\).
Si \(f:X\to Y\) es continua y el espacio \(X\) es compacto, entonces la imagen \(f(X)\) es un subespacio compacto de \(Y\).
\[f(X)\ \text{compacto}\]
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