Ejercicio · ZW-INTEGRABILIDAD-DE-CONTINUAS-006 · ★★☆ Intermedio
Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y \(\varepsilon>0\). Si \(|x-y|<\delta\) implica \(|f(x)-f(y)|<\tfrac{\varepsilon}{b-a}\), y \(P\) tiene subintervalos de longitud menor que \(\delta\), ¿qué se concluye de \(U(f,P)-L(f,P)\)?
Elige una opción.
A Que es mayor que \(\varepsilon\) B Que es igual a \(\delta\) C Que es menor que \(\varepsilon/(b-a)\) D Que es a lo sumo \(\varepsilon\) Ver respuesta D. Que es a lo sumo \(\varepsilon\)← Volver a la pregunta
Explicación En cada subintervalo \(M_i-m_i\le\tfrac{\varepsilon}{b-a}\), así que \(U-L=\sum(M_i-m_i)\Delta x_i\le\tfrac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon\).
Resultado según el cual toda función \(f\) continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) es integrable según Riemann en él.
\[f\text{ continua en }[a,b]\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx\text{ existe}\]
Más ejercicios de integrabilidad de funciones continuas