Ejercicio · ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-003 · ★☆☆ Básico
¿Qué hipótesis sobre el espacio métrico \(X\) garantiza que toda cubierta abierta de \(X\) tenga un número de Lebesgue?
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. \(X\) es compacto
Explicación
Es el lema de Lebesgue. Ser acotado, conexo o infinito no basta: \((0,1)\) cumple las tres y la cubierta \(\{(1/n,1)\}\) no tiene número de Lebesgue.
Repasa el concepto: Número de Lebesgue
Un número de Lebesgue de una cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de un espacio métrico es un \(\delta>0\) tal que todo subconjunto \(A\) de diámetro menor que \(\delta\) cabe en algún miembro de \(\mathcal{U}\).
\[\operatorname{diam}A<\delta\ \Rightarrow\ \exists\,U\in\mathcal{U}:\ A\subseteq U\]
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