Ejercicio · ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-009 · ★★★ Avanzado
¿Cuál es la idea de la demostración de que un espacio métrico compacto \(X\) tiene número de Lebesgue ?
Elige una opción.
A Se toma el menor diámetro entre los miembros de la cubierta B Se toma \(\delta\) igual al diámetro de \(X\) C Se elige el miembro de mayor diámetro D Se prueba que \(f(x)=\max_U d(x,X\setminus U)\) es continua y positiva, y se toma su mínimo en el compacto \(X\) Ver respuesta D. Se prueba que \(f(x)=\max_U d(x,X\setminus U)\) es continua y positiva, y se toma su mínimo en el compacto \(X\)← Volver a la pregunta
Explicación La función \(f\) mide qué tan adentro de algún miembro está \(x\); es continua y positiva, y en un compacto alcanza un mínimo \(\delta>0\). Los demás procedimientos no garantizan que cada conjunto pequeño quepa en un miembro.
Un número de Lebesgue de una cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de un espacio métrico es un \(\delta>0\) tal que todo subconjunto \(A\) de diámetro menor que \(\delta\) cabe en algún miembro de \(\mathcal{U}\).
\[\operatorname{diam}A<\delta\ \Rightarrow\ \exists\,U\in\mathcal{U}:\ A\subseteq U\]
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