Ejercicio · ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-004 · ★☆☆ Básico
¿Por qué la cubierta \(U_n=(1/n,1)\), \(n\ge2\), de \((0,1)\) no tiene número de Lebesgue ?
Elige una opción.
A Porque los \(U_n\) no son abiertos B Porque \((0,1)\) no tiene diámetro C Porque la cubierta es finita D Porque, dado cualquier \(\delta\), el conjunto \((0,\delta/2)\) tiene diámetro menor que \(\delta\) y no cabe en ningún \(U_n\) Ver respuesta D. Porque, dado cualquier \(\delta\), el conjunto \((0,\delta/2)\) tiene diámetro menor que \(\delta\) y no cabe en ningún \(U_n\)← Volver a la pregunta
Explicación Todo \(U_n\) omite los puntos cercanos a \(0\), así que ningún \(U_n\) contiene a \((0,\delta/2)\) con \(\delta\) pequeño. Los \(U_n\) sí son abiertos y la cubierta es infinita.
Un número de Lebesgue de una cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de un espacio métrico es un \(\delta>0\) tal que todo subconjunto \(A\) de diámetro menor que \(\delta\) cabe en algún miembro de \(\mathcal{U}\).
\[\operatorname{diam}A<\delta\ \Rightarrow\ \exists\,U\in\mathcal{U}:\ A\subseteq U\]
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