Ejercicio · ZW-SUCESION-DE-CAUCHY-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(a_n\) el truncamiento de \(\sqrt2\) a \(n\) decimales: \(1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\dots\). Considerada en \(\mathbb Q\), ¿qué ocurre?

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  • C. Es de Cauchy pero no converge en \(\mathbb Q\)

Explicación

Para \(m>n\) se tiene \(0\le a_m-a_n<10^{-n}\), así que es de Cauchy. Su límite natural, \(\sqrt2\), es irracional, de modo que en \(\mathbb Q\) no hay límite: \(\mathbb Q\) no es completo.

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Repasa el concepto: Sucesión de Cauchy

Una sucesión \((a_n)\) es de Cauchy si, para cada \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual cualesquiera dos términos distan entre sí menos que \(\varepsilon\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\]

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