Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-CONVERGENCIA-MONOTONA-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\), creciente y con \(a_n<3\) para todo \(n\). ¿Qué se concluye?
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- A. Converge a un \(L\) con \(\tfrac52\le L\le3\)
Explicación
Es monótona y acotada, así que converge. Por ser creciente, \(L\ge a_2=1+1+\tfrac12=\tfrac52\), y por la cota \(L\le3\). (De hecho \(L=e\approx2.718\), pero el teorema ya da la existencia.)
Repasa el concepto: Teorema de convergencia monótona
Toda sucesión real \((a_n)\), con índice \(n\) en los naturales \(\mathbb N\), que es monótona y acotada converge a un número real.
\[a_n\ \text{creciente y acotada}\ \Rightarrow\ \lim a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}\]
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