Ejercicio · ZW-AXIOMA-DE-COMPLETITUD-009 · ★★★ Avanzado
Sea \(S\) no vacío, acotado superiormente, y \(M=\sup S\). ¿Cuál afirmación es verdadera?
Elige una opción.
A \(M\) pertenece a \(S\) B Todo \(s\in S\) cumple \(s<M\) C Para cada \(\varepsilon>0\) existe \(s\in S\) con \(s>M-\varepsilon\) D Existe \(s\in S\) con \(s=M-\varepsilon\) para todo \(\varepsilon>0\) Ver respuesta C. Para cada \(\varepsilon>0\) existe \(s\in S\) con \(s>M-\varepsilon\)← Volver a la pregunta
Explicación Es la caracterización del supremo : \(M-\varepsilon\) no es cota superior. Las otras fallan con \(S=(0,1)\) (donde \(M=1\notin S\)) o con \(S=\{1\}\) (donde \(s=M\)).
Propiedad que distingue a \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\): todo conjunto no vacío \(S\) de reales con una cota superior \(M\) tiene supremo.
\[S\ne\varnothing,\ \exists M:\ s\le M\ \forall s\in S\ \Longrightarrow\ \sup S\in\mathbb R\]
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