Grupo abeliano

Decir que \(G\) es abeliano no añade un elemento ni una operación nueva: es una condición sobre cada par de elementos. Para cualesquiera \(a,b\in G\) se cumple \(a\ast b=b\ast a\). Todo lo demás (asociatividad, identidad, inversos) ya lo tiene cualquier grupo; la conmutatividad solo agrega que el orden de los factores no cambia el producto. El nombre honra a Niels Henrik Abel.

El ejemplo más cercano son los números con la suma. En \((\mathbb{Z},+)\) se tiene \(3+5=5+3\), y lo mismo ocurre con cualquier par de enteros, así que \((\mathbb{Z},+)\) es abeliano; también lo son \((\mathbb{R},+)\) y las matrices del mismo tamaño con la suma. En cambio, el grupo simétrico \(S_3\) no lo es: componiendo de derecha a izquierda, \((1\,2)(1\,3)=(1\,3\,2)\) pero \((1\,3)(1\,2)=(1\,2\,3)\). Con un solo par que no conmuta ya basta para decir que el grupo no es abeliano.

Por eso demostrar y refutar son tareas distintas. Para demostrar que un grupo es abeliano hay que dar un argumento válido para todo par \(a,b\): comprobar ejemplos concretos, por muchos que sean, no alcanza. Para refutarlo basta un contraejemplo. Es común escribir la operación de un grupo abeliano como suma, con identidad \(0\) e inverso \(-a\), pero es solo una convención de notación.

No confundas conmutar con asociar: la igualdad \((a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\) es la asociatividad y la tiene cualquier grupo. En un grupo abeliano se simplifican muchos cálculos; por ejemplo, \((a\ast b)^{n}=a^{n}\ast b^{n}\) y todo subgrupo es normal. Además, los grupos abelianos finitos están completamente clasificados, algo que no ocurre con los grupos en general.