Ejercicio · ZW-COMPACIDAD-SECUENCIAL-METRICA-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(x_n=(-1)^n\,\dfrac{n}{n+1}\) en \([-1,1]\). ¿A qué valores convergen sus subsucesiones convergentes?
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- D. A \(1\) y a \(-1\)
Explicación
Los términos pares son \(\tfrac{n}{n+1}\to1\) y los impares \(-\tfrac{n}{n+1}\to-1\). Toda subsucesión convergente tiene infinitos términos de un tipo, así que su límite es \(1\) o \(-1\); la sucesión misma no converge.
Repasa el concepto: Compacidad secuencial
Un espacio métrico \(X\) es secuencialmente compacto si toda sucesión \((x_n)\) en \(X\) tiene una subsucesión \((x_{n_k})\) que converge a un punto \(x\in X\).
\[\forall (x_n)\subseteq X\ \ \exists\, n_1
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