Ejercicio · ZW-COMPACTO-IMPLICA-CERRADO-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(K\subseteq\mathbb{R}\) compacto y \(x_n\in K\) con \(x_n\to x\) en \(\mathbb{R}\). ¿Es \(x\in K\)?
Elige una opción.
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- A. Sí, siempre
Explicación
\(K\) es cerrado por ser compacto en un espacio de Hausdorff, y un cerrado contiene los límites de las sucesiones que le pertenecen.
Repasa el concepto: Compactos en espacios de Hausdorff
Todo subconjunto compacto \(K\) de un espacio de Hausdorff \(X\) es cerrado en \(X\), y todo cerrado de un espacio compacto es compacto.
\[K\subseteq X\ \text{compacto},\ X\ \text{Hausdorff}\ \Rightarrow\ \overline{K}=K\]
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