Ejercicio · ZW-COMPACTO-IMPLICA-CERRADO-010 · ★★★ Avanzado
De las \(29\) topologías sobre \(\{1,2,3\}\), ¿en cuántas todo subconjunto compacto es cerrado?
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- C. \(1\)
Explicación
En un espacio finito todo subconjunto es compacto, así que la condición pide que todo subconjunto sea cerrado: solo la topología discreta. Se comprobó enumerando las \(29\).
Repasa el concepto: Compactos en espacios de Hausdorff
Todo subconjunto compacto \(K\) de un espacio de Hausdorff \(X\) es cerrado en \(X\), y todo cerrado de un espacio compacto es compacto.
\[K\subseteq X\ \text{compacto},\ X\ \text{Hausdorff}\ \Rightarrow\ \overline{K}=K\]
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