Ejercicio · ZW-CONJUNTO-ABIERTO-METRICO-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(X=(0,1]\) con la distancia usual. ¿Es \((1/2,1]\) abierto en el espacio \(X\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. Sí, porque en \(X\) se tiene \(B(1,1/2)=(1/2,1]\)
Explicación
Dentro de \(X\), \(B(1,1/2)=\{y\in(0,1]: |y-1|<1/2\}=(1/2,1]\), y los demás puntos tienen bolas pequeñas dentro. Ser abierto depende del espacio ambiente \(X\), no de \(\mathbb{R}\).
Repasa el concepto: Conjunto abierto en un espacio métrico
Un subconjunto \(U\) de un espacio métrico \((X,d)\) es abierto si cada punto \(x\in U\) es centro de alguna bola abierta \(B(x,r)\) contenida en \(U\).
\[\forall x\in U\ \ \exists r>0:\ B(x,r)\subseteq U\]
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