Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-010 · ★★★ Avanzado

Para \(f(x)=1/x\) en \((0,1)\), sean \(x_n=\tfrac1n\) y \(y_n=\tfrac1{n+1}\). ¿Cuánto valen \(|x_n-y_n|\) y \(|f(x_n)-f(y_n)|\)?

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  • A. \(\tfrac1{n(n+1)}\) y \(1\)

Explicación

\(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}=\tfrac1{n(n+1)}\to0\), pero \(|n-(n+1)|=1\) para todo \(n\). La distancia de las imágenes no se hace pequeña aunque la de los puntos sí: \(1/x\) no es uniformemente continua en \((0,1)\).

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Repasa el concepto: Continuidad uniforme

Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]

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