Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-007 · ★★☆ Intermedio
¿Por qué \(x^n\) no converge uniformemente en \([0,1]\)?
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- B. Porque su límite puntual es discontinuo y cada \(x^n\) es continua.
Explicación
Cada \(x^n\) es continua en \([0,1]\), pero el límite puntual vale \(0\) si \(x<1\) y \(1\) si \(x=1\), que es discontinuo. Un límite uniforme sería continuo, así que la convergencia no es uniforme.
Repasa el concepto: Convergencia uniforme
Una sucesión de funciones \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en un conjunto \(A\) si, para cada \(\varepsilon>0\), un mismo índice \(N\) sirve para todos los puntos de \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \ \forall x\in A\]
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