Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-005 · ★★☆ Intermedio
Sea \(f_n(x)=\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n}\) en \(\mathbb R\). ¿Qué ocurre?
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. Converge uniformemente a \(0\), pues \(|f_n(x)|\le\frac1n\).
Explicación
Como \(|\operatorname{sen}(nx)|\le1\), se tiene \(\sup_x|f_n(x)|\le1/n\to0\). La cota no depende de \(x\), y eso es la uniformidad.
Repasa el concepto: Convergencia uniforme
Una sucesión de funciones \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en un conjunto \(A\) si, para cada \(\varepsilon>0\), un mismo índice \(N\) sirve para todos los puntos de \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \ \forall x\in A\]
Más ejercicios de convergencia uniforme
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-001 Calcula sup_x∈[0,1]|(x)/(n)-0|.
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-002 Sea f_n(x)=x^n en [0,1]. Si f es su límite puntual, ¿cuánto vale f(1)?
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-003 Calcula sup_x∈[0,1)|x^n-0|.
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-004 ¿En cuál de estos conjuntos converge x^n uniformemente a 0?
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-006 Las f_n son continuas en A y f_n→ f uniformemente en A. Entonces f…
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-007 ¿Por qué x^n no converge uniformemente en [0,1]?
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-008 Calcula sup_x≥0(x)/(1+nx).
- ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-009 Sea f_n(x)=x^n(1-x) en [0,1], con límite puntual 0. ¿Converge uniformemente?
← ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-004 ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-006 →