Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LA-DIVERGENCIA-006 · ★★☆ Intermedio
Calcula el flujo exterior de \(\mathbf F=\langle x^3,y^3,z^3\rangle\) a través de la esfera unitaria.
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- B. \(\tfrac{12\pi}{5}\)
Explicación
\(\nabla\cdot\mathbf F=3(x^2+y^2+z^2)=3\rho^2\) en esféricas, y \(\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^1 3\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=3\cdot\tfrac15\cdot2\cdot2\pi=\tfrac{12\pi}{5}\).
Repasa el concepto: Teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia relaciona el flujo de un campo \(\mathbf F\) a través de una superficie cerrada \(S\), con normal exterior, con la integral triple de su divergencia sobre el sólido \(E\) que \(S\) encierra.
\[\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV\]
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