Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LIOUVILLE-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(f\) entera con \(f(z+1)=f(z)\) y \(f(z+i)=f(z)\) para todo \(z\). ¿Qué se concluye?
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- A. \(f\) es constante
Explicación
Todos los valores de \(f\) se repiten en el cuadrado \([0,1]\times[0,1]\), que es compacto, así que \(f\) es acotada. Por Liouville es constante. \(e^{2\pi iz}\) no cumple \(f(z+i)=f(z)\).
Repasa el concepto: Teorema de Liouville
El teorema de Liouville dice que toda función entera \(f\), es decir, holomorfa en todo el plano, que esté acotada por una constante \(M\) es constante.
\[|f(z)|\le M\ \ \forall z\in\mathbb{C}\ \Longrightarrow\ f\ \text{constante}\]
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