Con \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\},X\), \(Y=\{a,b,c\}\) y \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\), \(q(4)=c\), sea \(Z=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},Z\). ¿Cuántas funciones \(f:Y\to Z\) son continuas respecto de la topología cociente?
\(f\) es continua si y solo si \(f^{-1}(\{1\})\) es abierto en \(Y\), es decir, uno de \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},Y\): 4 funciones. Equivale a que \(f\circ q\) sea continua, como indica la propiedad universal.
La topología \(\mathcal{T}_q\) sobre \(Y\) determinada por una función sobreyectiva \(q:X\to Y\) desde un espacio \((X,\mathcal{T})\), cuyos abiertos son los \(V\subseteq Y\) con \(q^{-1}(V)\) abierto en \(X\).