Sea \(X=\{1,2,3,4\}\) con la topología discreta y \(q:X\to\{a,b\}\) dada por \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=q(4)=b\). ¿Cuántos abiertos tiene la topología cociente?
Como todo subconjunto de \(X\) es abierto, toda preimagen lo es y todo subconjunto de \(\{a,b\}\) es abierto. Un conjunto de 2 puntos tiene \(2^2=4\) subconjuntos: la cociente es discreta.
La topología \(\mathcal{T}_q\) sobre \(Y\) determinada por una función sobreyectiva \(q:X\to Y\) desde un espacio \((X,\mathcal{T})\), cuyos abiertos son los \(V\subseteq Y\) con \(q^{-1}(V)\) abierto en \(X\).