Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-010 · ★★★ Avanzado
Sea \((X,d)\) completo y \(d'(x,y)=\min\{d(x,y),1\}\). ¿Qué se cumple?
Elige una opción.
A \((X,d')\) no es completo porque \(d'\) está acotada. B \((X,d')\) es completo solo si \(X\) es finito. C \((X,d')\) es completo: ambas distancias tienen las mismas sucesiones de Cauchy y convergentes. D \(d'\) no es una distancia. Ver respuesta C. \((X,d')\) es completo: ambas distancias tienen las mismas sucesiones de Cauchy y convergentes.← Volver a la pregunta
Explicación Para \(\varepsilon<1\), \(d'(x,y)<\varepsilon\) equivale a \(d(x,y)<\varepsilon\). Así que ser de Cauchy y converger significan lo mismo con \(d\) y con \(d'\).
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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