Ejercicio · ZW-FUNCION-CONTINUA-TOPOLOGICA-010 · ★★★ Avanzado
La identidad \(\mathrm{id}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), de la topología usual a la discreta, ¿es continua?
Elige una opción.
A Sí, porque \(\mathrm{id}\) es biyectiva B Sí, porque la discreta tiene más abiertos C No: \(\{0\}\) es abierto en la discreta, pero \(\mathrm{id}^{-1}(\{0\})=\{0\}\) no es abierto en la usual D No, porque \(\mathrm{id}\) no es inyectiva Ver respuesta C. No: \(\{0\}\) es abierto en la discreta, pero \(\mathrm{id}^{-1}(\{0\})=\{0\}\) no es abierto en la usual← Volver a la pregunta
Explicación Para refutar la continuidad basta un abierto del destino cuya preimagen no sea abierta. Aquí \(\{0\}\) lo es. Tener más abiertos en el destino hace más difícil ser continua, no más fácil; y la identidad sí es inyectiva.
Una función \(f:X\to Y\) entre espacios topológicos \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) es continua si la preimagen de todo abierto \(V\) de \(Y\) es un abierto de \(X\).
\[V\in\mathcal{T}_Y\ \Longrightarrow\ f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X\]
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