Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-HEINE-BOREL-009 · ★★★ Avanzado
El espacio métrico \(X=(0,1)\) con la distancia usual es cerrado (en sí mismo) y acotado. ¿Es compacto?
Elige una opción.
A No: Heine-Borel vale en \(\mathbb{R}^n\), no en todo espacio métrico B Sí: es cerrado y acotado C Sí: es un intervalo D No: no es acotado Ver respuesta A. No: Heine-Borel vale en \(\mathbb{R}^n\), no en todo espacio métrico← Volver a la pregunta
Explicación La sucesión \(1/n\) no tiene límite en \(X\), así que \(X\) no es compacto. La equivalencia «cerrado y acotado» es propia de \(\mathbb{R}^n\); en general solo «compacto» implica «cerrado y acotado».
Un subconjunto \(K\) de \(\mathbb{R}^n\) con la métrica usual es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
\[K\subseteq\mathbb{R}^n\ \text{compacto}\iff K\ \text{cerrado y acotado}\]
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