Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-UNIFORME-REAL-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(f_n(x)=nxe^{-nx}\) en \([0,1]\), con límite puntual \(0\). ¿Converge uniformemente a \(0\)?
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- B. No, porque \(f_n(1/n)=e^{-1}\) no tiende a \(0\).
Explicación
En \(x=1/n\) se tiene \(f_n(1/n)=e^{-1}\) para todo \(n\), así que \(\sup|f_n|\ge e^{-1}\) y no tiende a \(0\). La convergencia puntual no basta: el «pico» se desplaza hacia \(0\) sin disminuir.
Repasa el concepto: Convergencia uniforme
Una sucesión de funciones \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en un conjunto \(A\) si, para cada \(\varepsilon>0\), un mismo índice \(N\) sirve para todos los puntos de \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \ \forall x\in A\]
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