Ejercicio · ZW-CAMBIO-DE-VARIABLES-EN-INTEGRALES-003 · ★☆☆ Básico
Para las coordenadas polares \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\), el jacobiano \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\) es:
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- A. \(r\)
Explicación
\(J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r\). Por eso \(dA=r\,dr\,d\theta\).
Repasa el concepto: Cambio de variables en integrales múltiples
El cambio de variables convierte la integral de una función \(f\) sobre una región \(R\) del plano \(xy\) en otra sobre una región \(S\) del plano \(uv\), corrigiendo el área con el jacobiano \(J\) de la transformación.
\[\begin{aligned}\iint_R f\,dx\,dy&=\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv\\J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\end{aligned}\]
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