Ejercicio · ZW-CAMBIO-DE-VARIABLES-EN-INTEGRALES-008 · ★★☆ Intermedio
Sea \(R\) el cuadrado dado por \(x=u+v,\ y=u-v\) con \(0\le u,v\le1\). Calcula \(\iint_R (x^2-y^2)\,dA\).
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- C. \(2\)
Explicación
\(x^2-y^2=4uv\) y \(|J|=2\), así que la integral es \(\int_0^1\!\int_0^1 8uv\,du\,dv=2\). Olvidar \(|J|\) da \(1\).
Repasa el concepto: Cambio de variables en integrales múltiples
El cambio de variables convierte la integral de una función \(f\) sobre una región \(R\) del plano \(xy\) en otra sobre una región \(S\) del plano \(uv\), corrigiendo el área con el jacobiano \(J\) de la transformación.
\[\begin{aligned}\iint_R f\,dx\,dy&=\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv\\J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\end{aligned}\]
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