Ejercicio · ZW-CAMBIO-DE-VARIABLES-EN-INTEGRALES-006 · ★★☆ Intermedio
Si \(u=x+y,\ v=x-y\), entonces \(dx\,dy=\)
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- A. \(\tfrac12\,du\,dv\)
Explicación
Aquí \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-2\), y el jacobiano de la transformación inversa es su recíproco: \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-\tfrac12\). Con valor absoluto, \(dx\,dy=\tfrac12\,du\,dv\).
Repasa el concepto: Cambio de variables en integrales múltiples
El cambio de variables convierte la integral de una función \(f\) sobre una región \(R\) del plano \(xy\) en otra sobre una región \(S\) del plano \(uv\), corrigiendo el área con el jacobiano \(J\) de la transformación.
\[\begin{aligned}\iint_R f\,dx\,dy&=\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv\\J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\end{aligned}\]
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