Ejercicio · ZW-CAMBIO-DE-VARIABLES-EN-INTEGRALES-005 · ★★☆ Intermedio
Con \(x=2u,\ y=3v\), el área de la elipse \(\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}\le1\) es:
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- D. \(6\pi\)
Explicación
La región \(S\) es el disco \(u^2+v^2\le1\), de área \(\pi\), y \(|J|=6\); entonces el área es \(6\pi\). Coincide con \(\pi ab\) con \(a=2,\ b=3\).
Repasa el concepto: Cambio de variables en integrales múltiples
El cambio de variables convierte la integral de una función \(f\) sobre una región \(R\) del plano \(xy\) en otra sobre una región \(S\) del plano \(uv\), corrigiendo el área con el jacobiano \(J\) de la transformación.
\[\begin{aligned}\iint_R f\,dx\,dy&=\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv\\J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\end{aligned}\]
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