Ejercicio · ZW-COORDENADAS-CILINDRICAS-Y-ESFERICAS-007 · ★★☆ Intermedio
Calcula el volumen de una bola de radio \(2\) integrando en coordenadas esféricas.
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- A. \(\tfrac{32\pi}{3}\)
Explicación
\(\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^2\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot\tfrac83=\tfrac{32\pi}{3}\), que coincide con \(\tfrac43\pi R^3\). Sin el factor \(\sin\varphi\) el resultado sería incorrecto.
Repasa el concepto: Coordenadas cilíndricas y esféricas
Las coordenadas cilíndricas \((r,\theta,z)\) y esféricas \((\rho,\theta,\varphi)\) ubican un punto del espacio con distancias y ángulos, y facilitan los sólidos con simetría de giro.
\[\begin{aligned}x&=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\\x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi\end{aligned}\]
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