Ejercicio · ZW-COORDENADAS-CILINDRICAS-Y-ESFERICAS-009 · ★★★ Avanzado
Calcula \(\iiint_E z\,dV\), donde \(E\) es la semibola superior \(x^2+y^2+z^2\le1\), \(z\ge0\).
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- B. \(\tfrac{\pi}{4}\)
Explicación
En esféricas, \(\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^1(\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac14\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi}{4}\). El integrando aporta \(\rho^3\), no \(\rho^2\).
Repasa el concepto: Coordenadas cilíndricas y esféricas
Las coordenadas cilíndricas \((r,\theta,z)\) y esféricas \((\rho,\theta,\varphi)\) ubican un punto del espacio con distancias y ángulos, y facilitan los sólidos con simetría de giro.
\[\begin{aligned}x&=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\\x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi\end{aligned}\]
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