Ejercicio · ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-010 · ★★★ Avanzado
\(\mathbb{R}\) no es compacto. ¿Puede una cubierta abierta de \(\mathbb{R}\) tener número de Lebesgue ?
Elige una opción.
A Sí: la cubierta \(\{(n-1,n+1)\}_{n\in\mathbb{Z}}\) admite \(\delta=1\) B No, porque \(\mathbb{R}\) no es compacto C Sí, pero solo si la cubierta es finita D No, porque \(\mathbb{R}\) no es acotado Ver respuesta A. Sí: la cubierta \(\{(n-1,n+1)\}_{n\in\mathbb{Z}}\) admite \(\delta=1\)← Volver a la pregunta
Explicación Un conjunto de diámetro menor que \(1\) con ínfimo \(a\) cabe en \((n-1,n+1)\) tomando \(n=\lceil a\rceil\) (si \(a\) es entero, \(n=a\)). La compacidad garantiza el número de Lebesgue para toda cubierta, pero una cubierta concreta puede tenerlo sin ella.
Un número de Lebesgue de una cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de un espacio métrico es un \(\delta>0\) tal que todo subconjunto \(A\) de diámetro menor que \(\delta\) cabe en algún miembro de \(\mathcal{U}\).
\[\operatorname{diam}A<\delta\ \Rightarrow\ \exists\,U\in\mathcal{U}:\ A\subseteq U\]
Más ejercicios de número de lebesgue ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-001 Una cubierta abierta de [0,1] está formada por [0,0.6) y (0.4,1]. ¿Cuál de estos valores es un núme…ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-002 Si δ=0.3 es un número de Lebesgue de una cubierta, ¿cuál otro valor también lo es sin más informaci…ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-003 ¿Qué hipótesis sobre el espacio métrico X garantiza que toda cubierta abierta de X tenga un número…ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-004 ¿Por qué la cubierta U_n=(1/n,1), n≥2, de (0,1) no tiene número de Lebesgue?ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-005 Sea δ un número de Lebesgue de una cubierta abierta de un espacio métrico compacto. ¿Qué bola abier…ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-006 Una cubierta de [0,3] la forman (-1,1.5), (1,2.5) y (2,4). ¿Cuál es el mayor δ que es número de Leb…ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-007 Una cubierta de [0,1] la forman [0,0.7) y (0.3,1]. ¿Cuál es el mayor δ que es número de Lebesgue?ZW-NUMERO-DE-LEBESGUE-008 Una cubierta abierta de [0,1] tiene número de Lebesgue δ=0.12. ¿Cuál es el menor n tal que, al part…