Ejercicio · ZW-INTEGRAL-DOBLE-010 · ★★★ Avanzado
Interpreta \(\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}\,dA\), con \(D:\ x^2+y^2\le1\), como un volumen y calcúlalo.
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- C. \(\tfrac{2\pi}{3}\)
Explicación
La gráfica de \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\) es el hemisferio superior de radio \(1\), y la integral es el volumen entre ese hemisferio y el disco \(D\): \(\tfrac12\cdot\tfrac43\pi=\tfrac{2\pi}{3}\). En polares: \(2\pi\int_0^1\sqrt{1-r^2}\,r\,dr=2\pi\cdot\tfrac13\). La esfera completa daría \(\tfrac{4\pi}{3}\).
Repasa el concepto: Integral doble
La integral doble de una función \(f\) sobre una región \(D\) del plano es el límite de las sumas de los valores de \(f\) por el área \(\Delta A\) de celdas cada vez más finas que cubren \(D\).
\[\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i\]
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