Ejercicio · ZW-INTEGRAL-TRIPLE-004 · ★☆☆ Básico
El tetraedro \(E\) está limitado por los planos coordenados y \(x+y+z=1\). Su volumen \(\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx\) es:
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(\tfrac16\)
Explicación
La integral interior da \(1-x-y\); luego \(\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy=\tfrac{(1-x)^2}{2}\) y \(\int_0^1\tfrac{(1-x)^2}{2}dx=\tfrac16\). Coincide con \(\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot1\) (base por altura entre tres).
Repasa el concepto: Integral triple
La integral triple de una función \(f\) sobre un sólido \(E\) del espacio es el límite de las sumas de valores de \(f\) por el volumen \(\Delta V\) de celdas cada vez más finas que cubren \(E\).
\[\iiint_E f\,dV=\lim_{\max\Delta V_i\to0}\sum_i f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\,\Delta V_i\]
Más ejercicios de integral triple
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-001 Calcula iiint_B 1 dV sobre la caja B=[0,1]×[0,2]×[0,3].
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-002 Calcula ∫_0^1\!∫_0^1\!∫_0^1 xyz dz dy dx.
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-003 Calcula ∫_0^1\!∫_0^2\!∫_0^3 (x+y+z) dz dy dx.
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-005 Con el mismo tetraedro E, calcula iiint_E z dV.
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-006 Un cubo [0,2]^3 tiene densidad rho(x,y,z)=x. Su masa iiintrho dV es:
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-007 Calcula ∫_0^1\!∫_0^x\!∫_0^y x dz dy dx.
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-008 Halla el volumen del sólido del primer octante bajo el plano x+2y+3z=6.
- ZW-INTEGRAL-TRIPLE-009 El valor promedio tfrac1V(E)iiint_E f dV de f=x+y+z en el cubo unitario E=[0,1]^3 es: