Ejercicio · ZW-CAMBIO-DE-VARIABLES-EN-INTEGRALES-010 · ★★★ Avanzado
Halla el área de la región \(1\le xy\le2,\ 1\le y/x\le2\) con \(u=xy,\ v=y/x\) (cuadrante positivo).
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- A. \(\tfrac{\ln2}{2}\)
Explicación
De \(x=\sqrt{u/v},\ y=\sqrt{uv}\) resulta \(|J|=\tfrac1{2v}\), y el área es \(\int_1^2\!\int_1^2\tfrac{1}{2v}\,dv\,du=\tfrac{\ln2}{2}\). El rectángulo \([1,2]^2\) en \(uv\) tendría área \(1\), pero el factor \(\tfrac1{2v}\) lo corrige.
Repasa el concepto: Cambio de variables en integrales múltiples
El cambio de variables convierte la integral de una función \(f\) sobre una región \(R\) del plano \(xy\) en otra sobre una región \(S\) del plano \(uv\), corrigiendo el área con el jacobiano \(J\) de la transformación.
\[\begin{aligned}\iint_R f\,dx\,dy&=\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv\\J&=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix}\end{aligned}\]
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