Ejercicio · ZW-DIFERENCIABILIDAD-MULTIVARIABLE-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\). ¿Por qué no es diferenciable en el origen?
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- A. Porque \(f_x(0,0)\) no existe
Explicación
El cociente \(\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{|h|}{h}\) vale \(1\) por la derecha y \(-1\) por la izquierda, así que \(f_x(0,0)\) no existe (la gráfica es un cono con vértice). Sí es continua.
Repasa el concepto: Diferenciabilidad en varias variables
Una función \(f(x,y)\) es diferenciable en un punto \((a,b)\) si su gráfica tiene plano tangente allí: el error de la aproximación lineal es despreciable frente a la distancia al punto.
\[\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)\,h-f_y(a,b)\,k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
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