Ejercicio · ZW-DIFERENCIABILIDAD-MULTIVARIABLE-009 · ★★★ Avanzado
Sea \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) con \(f(0,0)=0\). ¿Cuál afirmación es correcta?
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- C. Sus parciales existen en el origen, pero no es diferenciable
Explicación
Como \(f(h,0)=f(0,k)=0\), ambas parciales valen \(0\) en el origen. Pero a lo largo de \(h=k\) el cociente del error vale \(\sqrt2/4\neq0\), así que no es diferenciable. Es continua: \(|f|\le|y|\).
Repasa el concepto: Diferenciabilidad en varias variables
Una función \(f(x,y)\) es diferenciable en un punto \((a,b)\) si su gráfica tiene plano tangente allí: el error de la aproximación lineal es despreciable frente a la distancia al punto.
\[\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)\,h-f_y(a,b)\,k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
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