Ejercicio · ZW-TEOREMA-ROLLE-020 · ★★★ Avanzado
Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a)=f(b)\), ¿qué dice además el teorema sobre el signo de \(f'\)?
Elige una opción.
A Que \(f'\) es positiva antes de \(c\) y negativa después. B Nada: solo asegura un punto interior donde \(f'=0\). C Que \(f'\) cambia de signo en \(c\). D Que \(f'\) es positiva en todo \((a,b)\). Ver respuesta B. Nada: solo asegura un punto interior donde \(f'=0\).← Volver a la pregunta
Explicación El teorema solo asegura la existencia de un cero de \(f'\). No dice nada del signo: por ejemplo, \(f'\) puede tocar cero sin cambiar de signo, como en \(x^3\) con \(c=0\) (aunque \(x^3\) no cumple \(f(a)=f(b)\) en \([-1,1]\)).
Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a)=f(b)\), existe al menos un \(c\in(a,b)\) con \(f^{\prime}(c)=0\).
\[f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ \exists\,c\in(a,b):\ f'(c)=0\]
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