Ejercicio · ZW-WRONSKIANO-009 · ★★★ Avanzado
Sean \(y_1,y_2\) soluciones de \(y''+py'+qy=0\) con \(p,q\) continuas, y \(W(y_1,y_2)(t_0)=0\) en algún \(t_0\). ¿Qué es cierto?
Elige una opción.
A Son independientes, porque \(W\) se anula solo en \(t_0\) B \(W\) cambia de signo en \(t_0\) C \(W\) se anula en todo \(t\) y las soluciones son linealmente dependientes D No se puede concluir nada sin conocer \(p\) y \(q\) Ver respuesta C. \(W\) se anula en todo \(t\) y las soluciones son linealmente dependientes← Volver a la pregunta
Explicación Por la fórmula de Abel \(W(t)=W(t_0)e^{-\int_{t_0}^{t} p}\): si es cero en un punto, es cero en todos. Para soluciones de la misma ecuación no hay ceros aislados.
El wronskiano \(W\) de dos funciones derivables \(y_1\) y \(y_2\) es el determinante de la matriz que forman ellas y sus primeras derivadas.
\[W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2\]
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