Orden de un grupo

Se escribe \(|G|\). En \((\mathbb{Z}_n,+)\) vale \(n\); en el grupo simétrico \(S_n\) de las permutaciones de \(n\) objetos vale \(n!\); y en el grupo de unidades módulo \(n\), formado por los residuos primos con \(n\), vale \(\varphi(n)\), la función de Euler. El grupo trivial \(\{e\}\) tiene orden 1, el mínimo posible, porque todo grupo contiene a su neutro. Grupos como \((\mathbb{Z},+)\) o \((\mathbb{R}^*,\cdot)\) tienen orden infinito.

El orden es el primer invariante: si dos grupos tienen órdenes distintos, no pueden tener la misma estructura. Lo contrario es falso, pues hay grupos distintos del mismo orden: \(\mathbb{Z}_4\) y el grupo de unidades módulo 12 tienen ambos 4 elementos, pero en el primero un elemento lo genera todo y en el segundo ninguno.

El orden condiciona los subgrupos. El teorema de Lagrange, que veremos más adelante, afirma que el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito divide al orden del grupo. Por ejemplo, \(S_3\), de orden 6, no tiene subgrupos de orden 4 ni de orden 5. Por esa razón los grupos de orden primo son especialmente sencillos.

No confundas el orden del grupo, \(|G|\), con el orden de un elemento, que es el menor \(n>0\) con \(a^n=e\) y se introduce a continuación. Ambos se relacionan: el orden de un elemento coincide con el orden del subgrupo que genera.