Subgrupo

Los ejemplos más a la mano viven en \((\mathbb{Z},+)\): los múltiplos \(n\mathbb{Z}\) son subgrupos, y de hecho son todos los que hay. En \((\mathbb{R}^*,\cdot)\) los reales positivos forman un subgrupo, y en \(GL_2(\mathbb{R})\) las matrices de determinante \(1\) forman otro. Todo grupo \(G\) tiene al menos dos subgrupos, \(\{e\}\) y \(G\) mismo, llamados triviales; los demás se dicen propios.

Comprobar la definición completa sería largo, pero basta el criterio del subgrupo: \(H\subseteq G\) es subgrupo si y solo si \(H\ne\varnothing\) y \(ab^{-1}\in H\) para todos \(a,b\in H\). Si \(H\) es finito, basta además que sea no vacío y cerrado bajo la operación. Ojo: el neutro de \(H\) tiene que ser el de \(G\), y la cerradura sola no alcanza en conjuntos infinitos, como lo muestra \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\).

La intersección de subgrupos es siempre un subgrupo, pero la unión casi nunca: \(2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z}\) contiene a 2 y a 3, no a 5. Esto da sentido al menor subgrupo que contiene a un conjunto dado, que es la intersección de todos los que lo contienen y se estudia a continuación como subgrupo generado.

El tamaño de un subgrupo no es arbitrario: más adelante el teorema de Lagrange mostrará que, en un grupo finito, el orden de un subgrupo divide al del grupo. Así, \(\mathbb{Z}_{12}\) tiene subgrupos de órdenes 1, 2, 3, 4, 6 y 12, uno por cada divisor, y ninguno de orden 5.