Centro de un grupo

El centro siempre es un subgrupo abeliano de \(G\): contiene al neutro, y si \(z,w\) conmutan con todo, también \(zw\) y \(z^{-1}\). Los dos extremos son \(Z(G)=G\), que ocurre exactamente cuando \(G\) es abeliano, y \(Z(G)=\{e\}\), el caso de un grupo con centro trivial. Que sea trivial no quiere decir que el grupo sea «muy» no abeliano: solo que ningún elemento, salvo el neutro, conmuta con todo.

Ejemplos: \(Z(S_n)=\{e\}\) para \(n\ge 3\). En el grupo diédrico \(D_n\) de simetrías del \(n\)-ágono, el centro es trivial si \(n\) es impar, y tiene dos elementos (la identidad y el giro de \(180^\circ\)) si \(n\ge4\) es par. En \(GL_n(\mathbb{R})\), el centro son las matrices escalares \(\lambda I\) con \(\lambda\ne0\). Para un producto, el centro es el producto de los centros.

El centro es un subgrupo muy especial: cada uno de sus elementos conmuta con todo, por lo que cualquier subgrupo contenido en \(Z(G)\) es normal en \(G\). Esa propiedad lo hace útil para formar cocientes y detectar estructura; por ejemplo, la ecuación de clases usa el tamaño del centro para estudiar grupos de orden potencia de un primo.

Un error común es confundir el centro con un subgrupo conmutativo cualquiera. Un subgrupo puede ser abeliano sin ser central: en \(S_3\), el subgrupo generado por un 3-ciclo es abeliano, pero sus elementos no conmutan con las transposiciones, así que no está en el centro.