Teorema de Lagrange

La idea de la demostración es contar. Las clases laterales izquierdas de \(H\) forman una partición de \(G\), y cada una tiene exactamente \(|H|\) elementos, porque \(h\mapsto ah\) es una biyección de \(H\) sobre \(aH\). Si hay \([G:H]\) clases, entonces \(|G|=[G:H]\,|H|\).

Una consecuencia inmediata es que un grupo de orden primo \(p\) solo tiene los subgrupos \(\{e\}\) y \(G\); en particular, todo elemento distinto del neutro lo genera, y el grupo es cíclico. También se obtiene que, en un grupo finito, el orden de cada elemento divide al orden del grupo, pues ese orden es el del subgrupo que el elemento genera.

El recíproco es falso: que \(d\) divida a \(|G|\) no asegura un subgrupo de orden \(d\). El grupo \(A_4\), de orden \(12\), no tiene subgrupos de orden \(6\). Los teoremas de Cauchy y de Sylow dan los recíprocos parciales que sí valen, para los divisores que son potencias de primos.

El teorema exige que \(G\) sea finito, aunque el índice tiene sentido siempre. Una variante útil es la torre: si \(K\le H\le G\), entonces \([G:K]=[G:H]\,[H:K]\).