Orden de un elemento

En notación aditiva la condición se escribe \(na=0\). En \((\mathbb{Z}_n,+)\) el elemento \(a\) tiene orden \(n/\gcd(a,n)\); en \(S_n\), el orden de una permutación es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos disjuntos; en \((\mathbb{Z},+)\) todo elemento distinto de 0 tiene orden infinito. El neutro es el único elemento de orden 1.

La propiedad clave es que \(a^k=e\) si y solo si el orden de \(a\) divide a \(k\). De aquí salen las demás: \(|a^k|=|a|/\gcd(|a|,k)\), y \(a\) y \(a^{-1}\) tienen el mismo orden. En un grupo finito todo elemento tiene orden finito, pues las potencias \(a,a^2,\dots\) no pueden ser todas distintas.

Un error típico es creer que \(|ab|=|a|\,|b|\) o \(\operatorname{mcm}(|a|,|b|)\) siempre. Solo es cierto si \(a\) y \(b\) conmutan y tienen órdenes coprimos, en cuyo caso \(|ab|=|a|\,|b|\). En \(S_3\), dos transposiciones distintas de orden 2 tienen producto de orden 3.

El orden de \(a\) coincide con el número de elementos del subgrupo \(\{e,a,a^2,\dots\}\) que genera, idea que se formaliza en el subgrupo generado y que, junto con Lagrange, obliga a que el orden de un elemento divida al orden del grupo.