Característica de un anillo

La característica es el orden aditivo del 1 cuando ese orden es finito, y es 0 cuando 1 tiene orden infinito. Así, \(\mathbb{Z}_n\) tiene característica \(n\), mientras que \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{Z}[x]\) tienen característica 0. En un producto \(R\times S\) la característica es el mínimo común múltiplo de las de \(R\) y \(S\), no su producto.

Si la característica es \(n>0\), entonces \(n\cdot a=(n\cdot1)a=0\) para todo \(a\in R\): el número \(n\) anula cada elemento del anillo, de modo que el orden aditivo de cualquier \(a\) divide a \(n\). Por eso la característica se lee en el 1 pero gobierna a todo el anillo, y en característica \(n\) los elementos \(k\cdot1\) solo dependen de \(k\) módulo \(n\).

Si un anillo sin divisores de cero tuviera característica compuesta \(n=ab\) con \(1<a,b<n\), entonces \((a\cdot1)(b\cdot1)=0\) con ambos factores no nulos, lo cual es imposible. Luego la característica de un dominio de integridad es 0 o un número primo \(p\); en el segundo caso el dominio contiene una copia de \(\mathbb{Z}_p\). Los cuerpos finitos tienen siempre característica prima.

Un error frecuente es confundir la característica con el número de elementos: el cuerpo \(\mathbb{F}_4\) tiene 4 elementos y característica 2. Esta noción será clave para clasificar cuerpos: su característica es 0 (y contienen a \(\mathbb{Q}\)) o un primo \(p\) (y contienen a \(\mathbb{Z}_p\)).