Polinomios y cuerpos · Definición

Dominio de factorización única

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Antes de empezar necesitas conocer

Es el entorno donde vale el teorema fundamental de la aritmética: cada elemento se arma de forma esencialmente única con piezas irreducibles.

Definición

Un dominio de integridad \(D\) en el que todo elemento \(a\) no nulo y no unidad es producto de irreducibles \(p_i\), y esa factorización es única salvo el orden y los asociados.

\[a=p_1p_2\cdots p_r\]

El modelo es \(\mathbb{Z}\): todo entero mayor que 1 es producto de primos de una sola manera, salvo el orden. «Única» significa que dos factorizaciones \(a=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s\) cumplen \(r=s\) y, tras reordenar, cada \(p_i\) es asociado de \(q_i\). Los polinomios \(F[x]\) sobre un cuerpo también lo son, y lo mismo \(\mathbb{Z}[i]\).

En un DFU todo irreducible es primo, y la unicidad falla justo cuando algún irreducible no lo es. Por eso \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), donde \(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\), no es DFU. Además, en un DFU existen máximos comunes divisores: se toma cada irreducible con el menor exponente que aparece, igual que con los enteros.

La jerarquía es: cuerpo ⊂ euclidiano ⊂ ideales principales ⊂ DFU ⊂ dominio de integridad, y ninguna inclusión es una igualdad. El teorema de Gauss asegura que si \(D\) es DFU, también lo es \(D[x]\); así \(\mathbb{Z}[x]\) y \(F[x,y]\) son DFU aunque no tengan ideales principales.

Para pensar

¿Por qué \(\mathbb{Z}\) satisface la unicidad «salvo asociados» y no una unicidad exacta?

Porque \(6=2\cdot3=(-2)\cdot(-3)\): los factores cambian de signo, pero son asociados de los anteriores. Las unidades \(\pm1\) obligan a hablar de asociados.

Si en un DFU un irreducible \(p\) divide a \(ab\), ¿qué puedes decir?

Que \(p\) divide a \(a\) o a \(b\): en un DFU todo irreducible es primo.

Ejercicios 10

  1. En \(\mathbb{Z}\), ¿cuál es la factorización de 60 en irreducibles positivos?
  2. ¿Cuál es la factorización de \(x^4-1\) en irreducibles de \(\mathbb{Q}[x]\)?
  3. Usando \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\) y \(84=2^2\cdot3\cdot7\), ¿cuál es el máximo común divisor de 360 y 84?
  4. ¿Cuál de estos anillos es un dominio de factorización única?
  5. ¿Cuál implicación entre tipos de dominios es correcta?
  6. En \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), el elemento 6 tiene las factorizaciones \(2\cdot3\) y \((1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\). Como los cuatro factores son irreducibles y no asociados entre sí, ¿qué se concluye?
  7. ¿Qué ideal de \(\mathbb{Z}[x]\) muestra que \(\mathbb{Z}[x]\) no es un dominio de ideales principales, aunque sí es DFU?
  8. En \(\mathbb{Q}[x]\), ¿cuántos factores irreducibles (con multiplicidad, salvo asociados) tiene \(x^4-x^2\)?
  9. ¿Cuál es la factorización de \(x^4+4\) en irreducibles de \(\mathbb{Q}[x]\)?
  10. En \(\mathbb{Z}\), ¿cuántos divisores positivos tiene 360, usando su factorización \(2^3\cdot3^2\cdot5\)?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §8.3
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 18
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §3.7
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §45
  • Serge Lang, Algebra, Revised 3rd edition, Springer, 2002. cap. II §5