Teorema órbita-estabilizador

La idea es que cada punto de la órbita de \(x\) corresponde a una clase lateral del estabilizador: \(g\,\mathrm{Est}(x)\) se asocia con \(g\cdot x\). Esta asignación está bien definida porque \(g\cdot x=g'\cdot x\) equivale a \(g^{-1}g'\in\mathrm{Est}(x)\), y es inyectiva por esa misma equivalencia y sobreyectiva por definición de órbita. Por eso el número de elementos de la órbita es el de clases laterales, es decir, el índice.

Como el índice de un subgrupo es \(|G|/|H|\) por el teorema de Lagrange, se obtiene \(|\mathrm{Orb}(x)|\cdot|\mathrm{Est}(x)|=|G|\). Consecuencia inmediata: el tamaño de toda órbita divide a \(|G|\), y si se conoce la órbita se deduce el estabilizador, y al revés.

Ejemplo guía: el grupo de simetrías del cuadrado tiene orden \(8\) y actúa sobre los \(4\) vértices en una sola órbita; entonces el estabilizador de un vértice tiene \(8/4=2\) elementos, la identidad y una reflexión. La misma cuenta en \(S_n\) actuando sobre \(\{1,\dots,n\}\) muestra que el estabilizador de un punto tiene \((n-1)!\) elementos.

El teorema exige que \(G\) sea finito para escribir cocientes de órdenes, aunque la biyección entre la órbita y las clases laterales vale siempre. Se usa después para contar órbitas, para estudiar \(p\)-grupos y en los teoremas de Sylow.