Cuerpo de fracciones

Los racionales se construyen a partir de los enteros formando pares \((a,b)\) con \(b\neq0\) y declarando que \((a,b)\) y \((c,d)\) representan la misma fracción cuando \(ad=bc\). La misma receta funciona en cualquier dominio de integridad \(D\): las clases de pares forman el cuerpo \(\operatorname{Frac}(D)\), con la suma y el producto de siempre. Que \(D\) no tenga divisores de cero es lo que hace que la relación sea transitiva y que el producto de dos denominadores no nulos siga siendo no nulo.

Los ejemplos más usados son \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}\), el cuerpo de funciones racionales \(\operatorname{Frac}(F[x])=F(x)\) sobre un cuerpo \(F\), y \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])=\mathbb{Q}(i)\). El dominio \(D\) se identifica con las fracciones \(a/1\), de modo que \(D\) queda dentro de su cuerpo de fracciones, y si \(D\) ya es un cuerpo no se agrega nada.

Es el menor cuerpo que contiene a \(D\): cualquier cuerpo \(K\) que contenga a \(D\) contiene los cocientes \(ab^{-1}\), es decir, una copia de \(\operatorname{Frac}(D)\). Esta propiedad universal es la que se usa cuando un resultado sobre polinomios se prueba pasando a las funciones racionales, por ejemplo para factorizar en \(\mathbb{Z}[x]\) usando \(\mathbb{Q}[x]\).