Teoremas de Sylow

Un \(p\)-subgrupo de Sylow es un subgrupo de orden \(p^k\), la mayor potencia de \(p\) que divide a \(|G|\). Los teoremas dicen tres cosas: existe al menos uno; cualesquiera dos son conjugados, es decir \(Q=gPg^{-1}\) para algún \(g\); y su cantidad \(n_p\) divide a \(m\) y es congruente con \(1\) módulo \(p\). Además, \(n_p=[G:N_G(P)]\), el índice del normalizador de cualquiera de ellos.

La demostración usa lo visto sobre acciones. La existencia sale de contar con una acción de \(G\) sobre una familia de subconjuntos y de que un \(p\)-grupo que actúa sobre un conjunto tiene tantos puntos fijos como el cardinal módulo \(p\). La conjugación entre subgrupos de Sylow y la fórmula de \(n_p\) salen de hacer actuar \(G\) por conjugación sobre el conjunto de ellos y de aplicar el teorema órbita-estabilizador.

La consecuencia más usada es que \(n_p=1\) equivale a que el \(p\)-subgrupo de Sylow sea normal, pues sus conjugados coinciden con él. Para decidir, se listan los divisores de \(m\) congruentes con \(1\) módulo \(p\). Ejemplo guía: en orden \(15\) solo \(n_3=n_5=1\) es posible, por lo que ambos subgrupos son normales y el grupo es \(\mathbb{Z}_{15}\); en orden \(12\), \(n_3\in\{1,4\}\).

Errores típicos: olvidar que el orden de un subgrupo de Sylow es la potencia máxima y no cualquiera, confundir «divide a \(m\)» con «divide a \(|G|\)» y creer que \(n_p=1\) siempre. Con estos teoremas se demuestra que muchos órdenes no admiten grupos simples y se prepara la clasificación de grupos finitos pequeños.