Grupos y subgrupos · Definición

Subgrupo generado

álgebra modernagrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Permite construir subgrupos a partir de unos pocos elementos y describir grupos completos mediante sus generadores.

Definición

El subgrupo generado por un subconjunto \(S\) de un grupo \(G\) es el menor subgrupo \(H\) de \(G\) que contiene a \(S\); se denota \(\langle S\rangle\) y a \(S\) se le llama conjunto de generadores.

\[\langle S\rangle=\bigcap_{S\subseteq H\le G}H\]

La fórmula dice que \(\langle S\rangle\) es la intersección de todos los subgrupos que contienen a \(S\); esa intersección es un subgrupo y es el menor posible. Desde dentro, \(\langle S\rangle\) consta de todos los productos finitos de elementos de \(S\) y de sus inversos, incluido el producto vacío, que es el neutro. Por eso \(\langle\varnothing\rangle=\{e\}\).

Cuando \(S=\{a\}\), el subgrupo es \(\langle a\rangle=\{a^k : k\in\mathbb{Z}\}\) y su cantidad de elementos es el orden de \(a\). En \((\mathbb{Z},+)\), \(\langle m,n\rangle=\gcd(m,n)\,\mathbb{Z}\); en \(\mathbb{Z}_n\), \(\langle a\rangle\) tiene \(n/\gcd(a,n)\) elementos. En \(S_3\), dos transposiciones distintas generan todo el grupo.

Un grupo se dice finitamente generado si algún \(S\) finito cumple \(\langle S\rangle=G\). La lista de generadores no es única ni tiene por qué ser mínima: \(\mathbb{Z}\) se genera con \(\{1\}\) o con \(\{2,3\}\). Cuando un solo elemento genera todo el grupo, este es cíclico, el tipo más sencillo de grupo.

Para pensar

¿Por qué la unión de dos subgrupos no sirve para definir \(\langle S\rangle\)?

Porque la unión de subgrupos casi nunca es cerrada para la operación; por eso hace falta tomar todos los productos o, como en la fórmula, intersectar subgrupos.

En \((\mathbb{Z},+)\), ¿qué subgrupo generan \(\{2,3\}\)?

Todo \(\mathbb{Z}\): como \(\gcd(2,3)=1\), se obtiene \(1=3-2\) y de ahí todos los enteros.

Ejercicios 10

  1. En el grupo \((\mathbb{Z},+)\), ¿cuál es el subgrupo generado por \(4\)?
  2. ¿Cuántos elementos tiene \(\langle 8\rangle\) en \((\mathbb{Z}_{12},+)\)?
  3. ¿Cuántos elementos tiene \(\langle 4,6\rangle\) en \((\mathbb{Z}_{12},+)\)?
  4. En \((\mathbb{Z},+)\), ¿cuál es el subgrupo \(\langle 6,15\rangle\)?
  5. ¿Cuántos elementos tiene el subgrupo de \(S_3\) generado por el 3-ciclo \((1\ 2\ 3)\)?
  6. ¿Cuántos elementos tiene \(\langle (1\ 2),(2\ 3)\rangle\) en \(S_3\)?
  7. ¿Cuántos elementos tiene \(\langle (1\ 2),(3\ 4)\rangle\) en \(S_4\)?
  8. ¿Cuál es el subgrupo \(\langle\varnothing\rangle\) generado por el conjunto vacío en un grupo \(G\)?
  9. En \((\mathbb{Z}_{18},+)\), ¿cuál de los siguientes elementos genera el mismo subgrupo que \(4\)?
  10. Sea \(a\) un elemento de orden 10 de un grupo. ¿Cuántos elementos tiene \(\langle a^4\rangle\)?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §2.4
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 3 y 4
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §5